Условие

Амплитуда поперечных колебаний задана формулой A(τ)=kθ₀τ²/√((T²−τ²)²+nτ²T²), где τ>0.

Здесь k=3, θ₀=12°, T=15 с, n=1; коэффициенты k, θ₀ и n положительны.

Решите неравенство.

Найдите период волны τ>0, при котором амплитуда A(τ) наибольшая. Запишите обоснованное решение.

Начнём с главного

Все параметры k, θ₀ положительны, знаменатель положителен; максимизировать A(τ) равносильно максимизировать A(τ)²/(kθ₀)². Положим x=τ²>0.

При T=15, n=1 получаем f(x)=x²/((225−x)²+225x)=x²/(x²−225x+50625). Знаменатель положителен для всех x: он равен (225−x)²+225x, а при x>0 слагаемое 225x положительно.

Доведём решение до ответа

Производная f′(x)=x·225·(450−x)/(x²−225x+50625)². Следовательно, при 0<x<450 производная положительна, а при x>450 отрицательна. Значит, f достигает глобального максимума на x>0 при x=450.

Так как x=τ², то τ=√450=15√2 с. Это положительный период и единственная точка максимума.

Где легко потерять ответ

τ=450 с — 450 — значение x=τ², а не период. Нужно извлечь положительный квадратный корень.

τ=15 с — Это период свободных колебаний T; максимум вынужденной амплитуды достигается при τ=T√2 для выбранного n=1.

максимум не достигается, так как при τ→∞ амплитуда неограниченно растёт — При τ→∞ функция f(τ²) стремится к 1, а производная меняет знак с плюса на минус при x=450, где имеется конечный глобальный максимум.

Ответ и короткая проверка

τ=15√2 с.

Закрой решение и восстанови ключевой переход самостоятельно. Затем проверь, что ответ соответствует исходному условию, а не промежуточной переменной.