Что говорят разборы 2025 и 2026 годов

ФИПИ отмечал в анализе ЕГЭ-2025 работы, где в пункте с отбором тригонометрических корней приводился только ответ. В рекомендациях 2026 года ошибки отбора снова названы причиной потери баллов. Требуется понятное обоснование, а не список угаданных значений.

Ниже — наш учебный пример. Он короче экзаменационного уравнения, чтобы сосредоточиться на одном навыке: переходе от бесконечного семейства корней к конкретному отрезку. Именно этот переход нельзя оставлять исключительно в голове.

Пример: sin x = 1/2 на [2π; 4π]

Общее решение состоит из двух семейств: x = π/6 + 2πk и x = 5π/6 + 2πk, где k — целое число. У синуса значение 1/2 встречается в первой и второй четвертях. Записав только первое семейство, мы потеряем половину решений ещё до отбора.

Теперь нужно выбрать только корни от 2π до 4π включительно. Нельзя просто поставить k = 1 по памяти: на другом отрезке такой шаг окажется неверным. Покажем, почему именно это значение подходит.

Отбор первого семейства

Пишем двойное неравенство: 2π ≤ π/6 + 2πk ≤ 4π. Делим на положительное π, вычитаем 1/6 и делим на 2. Получаем 11/12 ≤ k ≤ 23/12.

Единственное целое число между этими границами — 1. Поэтому из первого семейства подходит x = 13π/6. Нельзя округлить обе границы привычным способом и считать это решением: мы выбираем целые числа из промежутка. Здесь достаточно показать границы и назвать подходящее k.

Отбор второго семейства

Аналогично: 2π ≤ 5π/6 + 2πk ≤ 4π. После преобразований: 7/12 ≤ k ≤ 19/12. Снова подходит только k = 1, откуда x = 17π/6.

Итог: 13π/6 и 17π/6. Оба корня лежат между 12π/6 и 24π/6. Концы отрезка тоже можно проверить напрямую: sin 2π = sin 4π = 0, поэтому они не добавляют решений.

Независимая проверка окружностью

Отрезок [2π; 4π] — один полный оборот после первого оборота. На нём синус равен 1/2 в тех же двух направлениях: π/6 и 5π/6, только с добавлением 2π. Получаем те же 13π/6 и 17π/6.

Проверка подстановкой: sin(2π + π/6) = 1/2 и sin(2π + 5π/6) = 1/2. Она подтверждает найденные корни, но сама по себе не доказывает, что других нет. Полноту обеспечивает отбор из всех семейств общего решения. Поэтому проверка не заменяет основную цепочку.

Четыре ошибки, которые стоит ловить отдельно

Первая — забыть второе семейство. Вторая — добавить π вместо периода 2π и получить неверный знак синуса. Третья — пропустить конец закрытого отрезка, когда он является корнем. Четвёртая — получить правильные числа на черновике, но не перенести обоснование в чистовик.

Можно пользоваться окружностью, числовой прямой, неравенствами или организованным перебором. Выбирайте способ, который умеете записать так, чтобы другой человек восстановил ход решения. Красивый рисунок без отметок и выводов тоже может не объяснять отбор.

Не спешите стирать отрицательные значения k. Это обычные целые параметры, которые часто нужны для отрицательных промежутков. Ограничения накладываются на x из условия задачи; знак вспомогательного k сам по себе ничего не запрещает.

Как закрепить

Оставьте уравнение sin x = 1/2, но смените промежуток на [−2π; 0]. Теперь подходящие корни −11π/6 и −7π/6. Снова получите их двумя способами: через целые k и через окружность.

Тренируйтесь менять промежуток, а не только коэффициенты уравнения. Особенно полезны отрицательные границы и полуинтервалы, где один конец исключён. В чистовом решении отделяйте общее решение от отбора: так проще заметить, завершены ли оба шага. Номера заданий из отчётов 2025/2026 не следует автоматически переносить в проект-2027.