Условие

log₄(√3 sin x−cos x)=0.

а) Решите уравнение.

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [−5π; −2π].

Запишите обоснованное решение обоих пунктов.

Начнём с главного

Из log₄(√3 sin x−cos x)=0 следует √3 sin x−cos x=4⁰=1. Значит, аргумент логарифма равен 1 и автоматически положителен.

Используем тождество √3 sin x−cos x=2sin(x−π/6). Получаем 2sin(x−π/6)=1, то есть sin(x−π/6)=1/2.

Доведём решение до ответа

Пусть u=x−π/6. Тогда u=π/6+2πn или u=5π/6+2πn, n∈ℤ. Следовательно, две полные серии: x=π/3+2πn или x=π+2πn, n∈ℤ. Возможны равноценные общие записи этих серий.

В первой серии на [−5π;−2π] подходит n=−2, дающий x=−11π/3; соседние значения при n=−3 и n=−1 лежат вне отрезка.

Отберём и проверим

Во второй серии подходят n=−3 и n=−2, дающие x=−5π и x=−3π; соседние значения при n=−4 и n=−1 лежат вне отрезка.

Итак, часть а: обе указанные полные серии; часть б: −5π, −11π/3, −3π.

Где легко потерять ответ

√3 sin x−cos x=2sin(x+π/6) — При преобразовании суммы нужно учесть знак перед cos x: √3 sin x−cos x=2sin(x−π/6). С неверным знаком получаются другие серии корней.

Указаны только корни −11π/3 и −3π — Потерян корень −5π, который является левым концом отрезка и принадлежит второй серии.

б) включён корень −17π/3 — Он соответствует первой серии, но лежит левее отрезка: −17π/3<−5π.

Ответ и короткая проверка

а) x=π/3+2πn или x=π+2πn, n∈ℤ (либо эквивалентная полная запись). б) x=−5π, −11π/3, −3π.

Закрой решение и восстанови ключевой переход самостоятельно. Затем проверь, что ответ соответствует исходному условию, а не промежуточной переменной.